数学物理方法证明世界数学难题----地图四色难题

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地图四色问题又称四色猜想,与哥德巴赫猜想、费马猜想一起并称为为世界三大数学猜想、世界三大数学难题。1965年5月,陈景润发表论文《大偶数表示一个素数及一个不超过2个素数的乘积之和》,最接近攻克哥德巴赫猜想。缙云企业家周立敬,从1980年开始,用四十年的坚持,攻克又一世界级数学难题——四色猜想。现周立敬的论文《数学物理方法证明世界数学难题——地图四色难题》已发表在《内蒙古科技》(2019年第12期/38卷/总第450期)上,在科技界、学术界引起了巨大反响。

周立敬,1962年出生,丽水缙云人,理学学士、高级工程师,1979年以物理满分考入杭州大学物理系,现为浙江博星电子有限公司董事长。研究方向:大功率半导体芯片及器件设计、制造;最大爱好:数论研究。

题目:任何复杂的地图只要用四种颜色填色就能使任何相邻区域不同色。(不能有飞地)

摘要:本文作者独创把四色问题变成特殊的平面结构加一维的三维的物理方法来解决任何二维的任意平面结构问题,很巧妙的证明了四色问题。本文作者先根据地图来源创造了变化规则,再用规则的变化推出对结果的结论。用结论来指导操作具体填色的先后,论文一目了然,简单清晰,用数学物理方法把复杂的事情简单明了,特别是作者回头检查各种假设的。自由度的充分性推导出地图的任意性,证明了用四种颜色填色就能使任何复杂的地图任何相邻区域不同色(不能有飞地)。

引言:四色问题又称四色猜想,四色定理,是世界三大数学猜想之一,最先是由一位古德里(Francis Guthrie)的英国大学生1852年提出来的,四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域,每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点就不叫相邻的。因为用相同的颜色着色不会引起混淆。

四色问题提出来后,经过许多数学家多次证明又否定,发现是出人意料地,异常地困难,许多数学家虽然对此绞尽脑汁,但一无所获,这个貌似容易的题目,其实是一个可与费马猜想相媲美的难题。

1976年6月,在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上,用了1200个小时,作了100亿个判断,结果没有一张地图是需要五色的,最终证明了四色定理。但计算机证明无法给出令人信服的思考过程,能不能用恰当逻辑方法证明是一个很重要关键问题。要证明四色问题,首先要解决具体的填色方法,因为同一张地图的填色,先后顺序是很关键的,哪块先填哪块后填对结果是不一样的。解决了填色顺序问题后,还必须证明这种方法对所有的地图有效,没有反例即充分性,这才是一个完整的证明。具体怎么证明请看下面:

一、由于实际地图的不规则性,任何图形都可能出现,具体就是组建模型。

首先,根据地图的产生原理,平面上每个点都可能扩大形成一个复杂的势力范围,即一个面。而这个面也会不断变化,形成一个多个面互相交错的复杂局面,这就是地图。根据地图的形成过程变化可以总结出四点变化规则:

规则A、把平面任意一个点都允许变成一个面。

规则B、把任意一条线允许延长或缩短至一个点。

规则C、把任意一个面允许放大或缩小直至一个点。

规则D、任意一条边允许变成任意曲线。

这样任何复杂的地图都可由规则A、B、C、D四种变化来完成(即地图的产生过程及结果)。

二、由以上四种变化规则来分析对地图填色的影响。

规则A变化:

任何一点由点变面,要看这个点变化后相邻有几面,若相邻只有三面则其相邻最多只需三色,若有更多面相邻则看后面分析安排。

规则B变化:

不会影响相交两面不同色。

规则C变化:

实质是规则B 变化的一种形式,也不会影响其相交两面不同色。

规则D变化:

更不影响其相邻两面不同色。

三、把平面用正六角方块网格化分完,如图1,边角处理:边  上有一点就算一块,没有就不算。这样理想条件下的地图假设为系统N,N完全符合正六角分布则只要用三种颜色填色就能按要求满足填色(即相邻区域不同色)。

四、任何复杂的地图就是规则A、B、C、D四种变化一直变下去的结果,这个地图暂且定义成:平面上有若干个面,每个面上有若干个节点,每个节点有若干个相交的面。

本质分解:现在来分析规则A变化对N的影响:

a)六角形地图,面上任一点由点变面后为一个面相交

b)六角形地图,边上任一点由点变面后为两个面相交

c)六角形地图,角上任一点由点变面后为三个面相交

d)缩短任一边为点,再由点变面后为四个面相交

e)在d的基础上再缩短任一边为点,再由点变面为五个面相交。

f)依次类推可变出任意个相交面的点。

五,至于对于具体的任意一张地图:

先标出每块地块与相邻地块有n块相邻,n=1、2、3的可先去掉,先不计也不管,以后可由规则A变化来完成填色。这个过程可一遍一遍搞下去直到剩余的每块的n≥4.

n大于等于4的每块可分解成:

如n=5可由三个三线星组成(三线星即六角形的一只角,有三条线一个点或三个面相交,象星星三条线叫三线星)

n=6由四个三线星组成

n可由(n-2)个三线星组成

具体的地图可由结构式示意,如图3表示。任何一块地的n可以派生变化,对于具体的地图就有具体的数及结构。

对于实际地图N1经规则C变化,每块地变成一个点,再由点变面这时对于n的数即为n=(每个节点的三线星数),即得N1',这时N1= N1', N1'就成了:有若干个面,每个面有若干个相邻的面这样简单。

把N1'中的任一块作为第4色nx在N地图上用本质分解来堆砌如图2,其余剩下的相邻的作ny系统1、2、3色区块作为基础,堆完之后再取任一块作为nx再堆砌。只要N六角形足够多就能把N1'堆砌完,堆时尽量靠近。不过总有一部分空档,外面都是空的,这时定义为N2'。把N2'用规则B,C变化把空档和无用的通通去掉得到N3'.

N1'若能变成N2'再变成N3'则N2'= N3',N1'因是在N的基础上由B、C规则变化成N3',而规则B、C的变化并不影响相邻面不同色,而N要满足规则A变化只要用四色填色就足够了。所以N1'要满足A点变化只要4色也就足够了。因此任何复杂的地图(条“四”暂且定义的地图)只要用四色就能区分,这也就是简单的四色定理的证明。这个方法叫做“理想六角方格填色法”。

六,N1'变成N2'有哪些注意事项和特点,请看具体处理:

注6.1根据地图数量大小来决定六角方格的数量,要有足够的六角方格数量。

注6.2地图填色完成后至于地图的图形可由规则D变化来完成吻合满足。

注6.3对于每个节点有若干个相交的面,在本质上就是:这个点是由在N上相应(n-2)个三线星叠加由规则A变化由点变面而成,就很直观了。

6.4:从前面的“理想六角方格填色法”操作方法得:

  • 第四色nx的结构任意:任意大小(nx≥4前已述)允许 各种结构没有限制,可任意与其它的ny三色组合相邻。
  • 操作顺序的任意性:堆砌时可任意先后,前面填完后面跟上。

3、对与第四色nx相交的面ny,其ny的大小(ny≧4这如前面所述)的要求的任意性,可大可小。

简单的说:对nx(第四色)因前面所述,其周边分

别为1,2,3色环绕,没有问题。(没超出4色)

对ny其周边则为其1,2,3的其余两色交叉环绕

(如1则为2,3两色相交叉环绕

2则为1,3两色交叉环绕

3则为1,2两色交叉环绕)

由第4色隔开

由于第4色的性质特殊性(特殊性是暂时的,可定义任何色为第4色,其实各色的地位是相等的)。按需可由ny周边的多次相取,实际上是对ny周边的第4色一次或多次相插而成。插一次多一个相交的面,插二次就多两个相交的面,依次类推,具体多少次可由六格方格系统自动调节,堆完就自动搞定。

七、对于具体“理想六角方格填色法”的地图填色,其方法其相应的处理方法如下:

步骤1,把地图每地块编号,把n≤3的先钩掉,(先记住编号以后由A点变化恢复),一遍又一遍,最终成为每块n≥4的地图

步骤2,取任一nx在N(六角方格)上按任意结构排列堆砌(N的每块按1色,2色,3色,固定)

步骤3,nx周边地块相应地按一定顺序如顺时针对应填上所有的ny颜色,ny较大者进行消去两点处理*(消去两点方法参照图4),对较大者消去两点可重复多次进行,完成后返回经“步骤1”处理的地图。

步骤4,再取没填色的nx按“步骤2”方法进行堆砌,“步骤3”堆砌后填色固定,直至地图每块填上颜色。

(注:对ny的多次相取实为ny的第4色多次相插,可按需相取,但ny数值不变,前已述)

  • 步骤4说明:根据经验简易的地图可按以下先后程序填色:
  • 检查没填色的各块已经有与1色2色3色同时碰的填上nx(即4色)
  • ny大的可先填
  • 可填ny的一般不要填nx

一般情况下都能很快填好,但复杂的请严格按N上的先堆砌,再相应的按结构在地图上填色,由N的结构来调整相互之间的关系。

步骤5,再对经“步骤1”处理的地图由A点变化恢复,再填上颜色就可以了。

以上可知:每组nx,ny成组后按理想N的规则作工具进行自动配合调整就可得到地图的填色了。

八、事实上由以上的“6.4”条推出的nx,ny的任意,三任意是不够的,没有达到任意地图的充分性条件,地图的任意性应该是:四色的任一色区域都有可能与其它三色区域相邻,前面的理想六角方格堆砌结构,虽然第四色nx 可与其它三色区域有任意相邻的结构,可剩下ny 三色区域之间都是理想的只能是各各相邻,地图的任意性要求ny 三色之间也必须有任意相邻之要求,不能只是俩俩相邻,那么任意相邻与俩俩相邻有什么区别的呢,如图五:

图五

ny 1外面的a1区隔着B区和bx区与b1相邻,这时相当于a1与b1是俩俩相邻,是理想的六角方格,用前面的“理想六角方格填色法”处理,再加bx+B区,这是一个对前面的理想六角方格地图是多余出来的地图,这也是一个任意地图,是一个周边已填色的中间任意地图,简称多余区域。多余区域的处理:在“理想六角方格填色法”处理过程中,碰到多余区域先暂停,后再用同样的“理想六角方格填色法”加多余区域处理。因是任意地图多余区域的特殊性,数量是可以有若干个,但不管几个,任意的地图就是六角方格理想区域加若干个多余区域。关于多余区域既然有一个三面已填色的内任意地图,类推所得有二面已填色的内任意地图与一面已填色的内任意地图直至四面五面至多面已填色的内任意地图。这样任意地图可表达为:理想的六角方格变化地图与1至多面已填表色的内任意地图的各种组合。同样条七的“步骤4”应修改为:步骤4:先分析地图上有没有多余区域,若有则把多余区域部分暂停,后再用多区域处理法处理填色,若没碰到多余区域则再取没填色的ny 按步骤2方法进行堆砌“步骤3”填色固定直至每块填上颜色。

对于多余区域的外面已填色的内任意地图的填色处理可参照图六。

图六

在六角方格的外面先画一个Y圈,在Y圈内堆彻,用Y色作为nx 第四色来堆砌(Y圈内的Y色位置用原第四色来替代),如碰到不规则结构先留着,堆完后用规则B、C去空,剩下的为一面已填色(Y色)的任意地图填色。其它多余区域外边已填色的参照Y圈,把Y圈分成几段,每一段在圈内画一个同色圈,各个同色圈要靠拢把大圈内分完,在圈内同色圈内参照Y圈方法以每段色,作为第四色nx来堆砌如碰到不规则结构也先留着,圈与圈之间关系由原六角方格来调整。同样堆砌后用规则B、C去空剩下的即为外面已填色的内任意地图填色。不过一般大于3个面已填色的可用六角方格理想填色法直接填色也是一样的,不必用外面已填色的内任意地图方法填色。这就是四色定理的完整证明。

结束语:

本证明已想法多年,在本人读大学时起已近40年,中间多次修改,苦于少人交流,苦恼不已。经多人帮助终于完稿,其中特别感谢我的大学班长汤子康先生给予的各种支持。

图1:图中有白点的区域即算一个区域

图2:n1=5(3个三线星)n2=6(4个三线星)n3=7(5个三线星)n4=4(2个三线星)n11=8(6个三线星)

 

图3

图4 大ny的消去两点结构示意图

经消去两点后,ny的数值可大大增加(实质是把相邻的同色区域并入)

周立敬2019年09月03日于缙云修改

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